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%%%%%% Author: ZhengWei Li
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\documentclass[UTF8,oneside]{article}  %--- 单面打印用oneside，双面打印就改为twoside%--- 12pt对应中文字号小四号

%--- 导入包以及各种自定义设置 ---
\input{./contents/packages-setting.tex}

\begin{document}
%-----------  填写以下基本信息(封面) --------------------------------
\def\paperTitle{\ce{GaAlN/GaN}量子阱中电子的激发态极化}%-- 论文的中文标题
\def\paperEnglishtitle{The Polarization of Electronic Excited State in a \ce{GaAlN/GaN} Quantum Well}%-- 论文的英文标题
\def\majorgrade{物理学专业2019级汉班}%-- 专业，年级
\def\myinstitution{物理与电子信息学院}%-- 所在院名称
\def\stuid{20191105400}%-- 作者学号
\def\paperauthor{戴维}%-- 作者姓名
\def\paperinstructor{杰克}%-- 指导教师姓名
\def\theDate{2023年5月15日}%-- 论文定稿时间
%----------------------------------------------
\def\enpaperauthor{David Lee}%-- 作者姓名拼音
\def\enmajorgrade{Class of Physics Han, Grade 2019}%-- 专业的英语翻译
\def\enmyinstitution{College of Physics and Electronic Information}%-- 院英语名称
\def\enpaperinstructor{Jock Ma}  %-- 指导教师姓名拼音
%------------------------------------------------------------------

%----------摘要以及关键词写入-----------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----------------中文摘要正文写入------------------
\def\chinesemainabstract
{
考虑了纤锌矿结构材料的各向异性造成的内建电场的作用，计算
了 \ce{GaN/GaAlN} 量子阱内电子的激发态极化，结果表明电子偶极矩改变随 \ce{Al} 浓度非
线性减小。一般情况下激发态极化产生的电场强度远小于内建电场，故可忽略不
记。但当 $n$ 取较大的值 ($ n = 10^{19} /cm^3 $以上) 时，即材料被重掺杂时，激发态
极化产生的电场强度对内建电场的影响不可忽略。
}
%----------------中文关键词(最后一个关键词不加;没有关键词请空着)------------------
\def\keywordsone{量子阱;}
\def\keywordstwo{内建电场;}
\def\keywordsthree{激发态极化}
\def\keywordsfour{}
\def\keywordsfive{}

%----------------英文摘要正文------------------
\def\englishmainabstract
{
  The build-in internal electric field caused by the anisotropy of wurtzite structure has been considered. 
  The polarization of the electric excited state in the \ce{GaN/GaAlN} quantum well has been calculated. 
  It is shown that the moments of dipole change decrease with \ce{Al} content non-linearly. 
  The effect of the polarization of the electronic excited state on the build-in internal electric field 
  is neglected when the density of the doped electron $n$ is small but when $n$ is above $ 10^{19} /cm^3 $ 
  it is not neglected.
}
%----------------英文关键词(最后一个关键词不加; 没有关键词请空着)------------------
\def\enkeywordsone{quantum well;}
\def\enkeywordstwo{build-in internal electric field;}
\def\enkeywordsthree{the polarization of excited state}
\def\enkeywordsfour{}
\def\enkeywordsfive{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%-- 导入封面 --
\include{./contents/cover-page.tex}
%-- 导入声明 --
\include{./contents/statement.tex}
%-- 导入摘要 --
\input{./contents/abstract.tex}
%-- 导入目录 --
\newpage
\tableofcontents
%-- 导入页眉页脚设置 --
\input{./contents/pageheaderfooter.tex}


%-------------- 以下为正文部分 -----------------------------
%-------------- 正文字体格式请在\myfont{}命令中使用----------
\vspace{1em}
\section{引言}

\subsection{二级标题}

\myfont{
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} - \ce{N}
和\uppercase\expandafter{\romannumeral3} -\uppercase\expandafter{\romannumeral5} - \ce{N}化合物
半导体材料（如 \ce{AlN}、\ce{GaN}、\ce{AlGaN}、\ce{InN}、\ce{GaInN}）具有单轴异性结构，它的
能带结构、光学性质不同于硅与砷化镓，具有奇特的性质。近年来 \ce{GaN} 基量子阱已经被成功应用到蓝、绿光和紫外光
激光二极管。在 \ce{GaN}基量子阱材料中人们尤其对 \ce{GaN-GaAlN}量子阱系统有浓厚兴趣，因为这种量子阱的限制层
为二元合金 \ce{GaN}，它的生长已经能够很好地控制，其材料参数也已经能够很好确定，另外势垒层 \ce{AlGaN}材料的生长
也要比 \ce{InGaN}容易。

关于\uppercase\expandafter{\romannumeral3} -\uppercase\expandafter{\romannumeral5} - \ce{N}化合物
量子阱的研究已有很多成果，其中之一是发现\uppercase\expandafter{\romannumeral3} -\uppercase\expandafter{\romannumeral5} - \ce{N}
化合物量子阱中存在内建电场（internal electric field，缩写为IEF），使电子空穴分离，从而造成激子
结合能下降\cite{phy-cite2, phy-cite3, phy-cite4}。进一步的研究说明IEF是由于量子阱两种材料的压电极化和随机极化共同形成的界面电荷
积累造成的\cite{phy-encite1, phy-cite2}。\ce{GaAlN/GaN}量子阱中内建电场的强度$F$很大，典型值
是$F=1 \hspace{1ex}{MV}/{cm}$，例如对于$\ce{Ga_{1-x}Al_{x}N}$合
金$x=0.27$时$F=1.1\hspace{1ex}{MV}/{cm}$。研究表明当$x$不大于$0.27$时，$F$随$x$线性增加。对
于$x=0.15$，$F\approx 350\backsim \text{450}\hspace{1ex}{kV}/{cm}$；对
于$x=0.27$，$F\approx 1\backsim \text{1.1} \hspace{1ex}{MV}/{cm}$。这里我们在$x=0.15$和$x=0.27$时分别
取$F= 450 \hspace{1ex}{kV}/{cm}$和 $F=1.1 \hspace{1ex}{MV}/{cm}$；对于其它$x$区间的$F$值我们取为$x=0.15$和$x=0.27$两点$F$值的线性插值。

由于内建电场的存在，量子阱中的载流子实际上被限制在三角势阱中。在强光照射下，阱中电子将被激发。
由于三角势阱的非对称性，处于激发态的电子的电荷中心与基态时相比会有一定偏离，造成激发态极化。
关于 \ce{GaAlN/GaN}量子阱中电子的激发态极化的研究目前的工作很少。文\cite{phy-encite1}利用改进的渐进递推矩阵方法数值
求解阱中电子的薛定谔方程，得到电子波函数，并在此基础上研究电子从基态跃迁到第一激发态产生的偶极矩改变以及液体静压力对电子激发态极化的
影响。文\cite{phy-encite1}的结果表明电子偶极矩的改变随 \ce{Al}的浓度$x$变化不是单调的，这一结果很难解释。由于
文\cite{phy-encite1}只计算了$x$取三个值处的偶极矩，难以得到偶极矩的改变随 \ce{Al}浓度$x$总体变化的趋势，所以有
必要进一步研究；另外，我们希望知道这种激发态极化反过来会不会对内建电场产生重要影响。我们
认为文\cite{phy-encite1}中得到的偶极矩的改变随 \ce{Al}浓度$x$非单调变化的结果是其计算中数值精度达不到要求造成的。本文
将利用艾里函数\cite{phy-cite2}，解析求解电子波函数及其能量，并在此基础上研究电子由基态跃迁到第一激发态时
产生的偶极矩改变及其随 \ce{Al}浓度的变化。结果表明由于电子激发态极化产生的偶极矩改变随 \ce{Al}的浓度$x$的增加非线性减小。
}

\myfont{
引言可分为三部分来写.

第一部分阐述研究背景, 总结前人的工作和结果. 在文献\cite{Liang-Xu-Auto18}(注意这里对参考文献的交叉引用方法)中, 作者研究了.......

第二部分详细阐述本文研究的核心工作, 用了哪些技巧和理论工具, 研究了哪个问题, 得到了什么结果. 与前人的结果比较,  本文的创新点在哪里.

第三部分阐述本文的主要结构. 在第2节做了什么, 在第3节做了什么.
}

\section{理论}

\myfont{
考虑 \ce{GaN}被$n$型掺杂的情况，这时强光激发的电子浓度远大于空穴浓度，所以我们可以只需考虑电子的激发态极化。
在有效质量近似下，考虑量子阱中一个具有电荷$-e$ ($e = 1.602 \times {10^{ - 19}}$为电子电荷量)且有效质量为${m^*}$的
电子（ \ce{GaN}的电子有效质量为${m^*}$= 0.2 ${m_0}$ ）。
选择$z$轴为垂直界面方向。量子阱内建电场的强度为F，不失一般性，我们假设IEF只限于阱内，
且在阱内是均匀的并在阱内空间产生线性变化的势场，这样，我们可把量子阱近似看成是三角形的。设电子在三角势中的波函数为 。
电子在三角势阱中波函数满足的薛定谔方程(这个方程(\ref{Equ: schoore})很重要)为
  \begin{equation}\label{Equ: schoore}%将该方程贴标签，以便引用
    \frac{{d^2}{\zeta _i}}{{d{z^2}}} + \frac{{2{m^*}}}
    {{{\hbar ^2}}}\left[ {{E_i} + e\left( { - Fz} \right)} \right]{\zeta _i}\left( z \right) = 0
  \end{equation}
解此方程求得的电子波函数为\cite{phy-cite2}
  \begin{equation}
    {\zeta _i}\left( z \right) = {A_i}\left\{ {{{\left( {2{m^*}eF/{\hbar ^2}}
    \right)}^{1/3}}\left[ {z - \left( {{E_i}/eF} \right)} \right]} \right\}
  \end{equation}
对应的能量为
  \begin{equation}
    {E_i} \approx {\left( {{\hbar ^2}/2{m^*}} \right)^{1/3}}
    {\left[ {\frac{3}{2}\pi eF\left( {i + \frac{3}{4}} \right)} \right]^{2/3}}
  \end{equation}
对应的电荷中心为
  \begin{equation}
    {\bar z_i} \approx 2{E_i}/3eF
  \end{equation}
偶极矩改变为
  \begin{equation}
    \delta \mu  = e\left( {{{\bar z}_1} - {{\bar z}_0}} \right)
  \end{equation}
其中${A_i}(x)$为艾里函数
  \begin{equation}
    {A_i}(x) = \frac{1}{{\sqrt \pi  }}\int_0^\infty  {\cos (\frac{{{u^3}}}{3} + ux)} \mathrm{d}u
  \end{equation}
则总电偶极矩改变为
  \begin{equation}
    \Delta p = n\delta \mu 
  \end{equation}
这里$n$为处于激发态中杂质的浓度。激发态极化产生的电场强度的大小为
  \begin{equation}
    E = \frac{{\Delta p}}{{{\varepsilon _0}}}
  \end{equation}
其方向与内建电场强度$F$的方向相反。
}

\section{结果与讨论}
\myfont{

  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{fig/fig-1.1}
    \caption{电子两个低能态能量随 \ce{Al}浓度的变化}
    \label{fig:fig-1}
  \end{figure}

  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/fig-1.2}
    \caption{电子偶极矩改变随 \ce{Al}浓度的变化}
    \label{fig:fig-2}
  \end{figure}

  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/fig-1.3}
    \caption{激发态极化产生的电场强度的大小随 \ce{Al}浓度的变化}
    \label{fig:fig-3}%必须写在caption后面
  \end{figure}

  图 \ref{fig:fig-1}和图 \ref{fig:fig-2}示出电子两个低能级以及电子由基态跃迁到第一激发态产生的偶极矩的改变随 \ce{Al}浓度的变化情况，
  图 \ref{fig:fig-1}和图 \ref{fig:fig-2}说明 \ce{Al}浓度对电子激发有重要影响。由图 \ref{fig:fig-1}可知随 \ce{Al}浓度的
  增加电子两个低能级非线性增加。由图 \ref{fig:fig-2}可知随 \ce{Al}浓度的增加电子由基态跃迁到第一激发态产生的
  偶极矩的改变非线性减小，这与文\cite{phy-cite4}的结果不同。原因如下：由于的 \ce{AlN}禁带宽度为 \SI{6.2}{\eV}，比 \ce{GaN}的禁带
  宽度 \SI{3.4}{\eV} 大得多，\ce{Al}组分增加使得$\ce{Ga_{1-x}Al_{x}N}$异质界面处导带不连续增大\cite{phy-encite1}，势阱变深。
  同时, \ce{Al}组分的增加导致的极化电荷使界面附近层内建电场按比例增强,量子阱底部变窄,
  所以两电子最低的能级离量子阱底的高度增加,且波函数分布变窄,电荷中心移动幅度较小，
  造成偶极矩变化随 \ce{Al}浓度增加而减小。

  为讨论电子激发态极化产生的电场强度对内建电场的影响我们作出电子激发态极化
  产生的电场强度随 \ce{Al}浓度的变化（图 \ref{fig:fig-3}）。由图 \ref{fig:fig-3}可知随 \ce{Al}浓度的增加激发态极化产生的电场强度的
  大小非线性减小。这里我们取$ n = 10^{19} /cm^3 $。由图 \ref{fig:fig-3}可知一般情况下激发态极化产生的电场强度远小于内建电场，
  故可忽略不记。但当$n$取更大的值时，即材料被重掺杂时，激发态极化产生的电场强度对内建电场影响不可忽略。
}

\section{数学部分}
\subsection{定理环境以及证明}
\subsubsection{这是三级标题}
\myfont{
下面是一个定义. 将对应的\LaTeX{}环境命令里的definition换成theorem, lemma, proposition, corollary,example, remark,就
得到定理、引理、命题、推论、例、注等
  \begin{definition}[\cite{LiLiqun-17}]\label{Def: positive def matrix}
    %------\begin{definition}[引用的定义所在的参考文献的标签] \label{给这个定义设置一个标签}
    %----- 标签lable里的Def: positive def matrix是作者自己加上去的，为了方便交叉引用，加的标签最好有一定的意义，容易记忆
    $n$阶实对称矩阵$A$为正定的，如果它所对应的二次型$X^T A X$是正定的，即对任意非零的$n$维列向量$X$, 有$X^T A X>0$.
  \end{definition}

根据定义\ref{Def: positive def matrix} (注意这里的交叉引用方法), 我们有......

下面是性质，还有一个列表的使用例子，注意列表编号的格式。
\begin{property}\label{Property: positive matrix}
如果$A$和$B$都是正定矩阵, 则有:
  \begin{itemize}
    \item[(\romannumeral1)]$A+B$是正定矩阵;
    \item[(\romannumeral2)]$kA$$(k>0)$是正定矩阵;
    \item[(\romannumeral3)]blablabla etc;
    \item[A.]
    \item[B.]
    \item[C.]
  \end{itemize}
  \end{property}

以下是一个引理。
  \begin{lemma}
    设$E:\Bbb{R}^+ \to \Bbb{R}^+$ ($\Bbb{R}^+=[0,+\infty)$)是一个单调递减的函数且存在常数$T>0$，使得
    $$\int_t^{\infty} E(s) \d s \leq TE(t),\quad \forall t\in \Bbb{R}^+,$$
    则
    $$E(t)\leq E(0) e^{1- \frac{t}{T}},\quad \forall t\geq T. $$
  \end{lemma}

下面是一个定理及证明, 注意不等式(\ref{ineq-1})的交叉引用方法.
  \begin{theorem}
    设$E$是定义在$[0,\infty)$上的非负递减函数. 如果
  \begin{equation}\label{ineq-1}  %----- 标签lable里的ineq-1是作者自己加上去的，为了方便交叉引用，加的标签最好有一定的意义，容易记忆
    \int_S^{\infty} E(t) \d t \leq CE(S),\quad \forall S\geq S_0,
  \end{equation}
    其中$S_0$, $C$为固定常数, 则
    $$E(t)\leq E(0)e^{1-\frac{t}{S_0+C}},\quad \forall t\geq 0.$$
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    若$0\leq S\leq S_0$, 由(\ref{ineq-1})式可知
      \begin{eqnarray*}
      % \nonumber to remove numbering (before each equation)
        \int_S^{\infty} E(t)\d t &=& \int_S^{S_0} E(t)\d t +\int_{S_0}^{\infty} E(t)\d t\\
        &\leq &(S_0-S) E(S)+CE(S_0)\\
        &= &S_0 E(S) +CE(S)
      \end{eqnarray*}
    因此, 对$\forall S\geq 0$, 有
      $$\int_S^{\infty} E(t) \d t \leq  (S_0+C)E(S).$$
    由引理3得
      $$E(t)\leq E(0)e^{1-\frac{t}{S_0+C}},\quad \forall t\geq 0.$$
  \end{proof}

  \begin{remark}
    这里是一个注。
  \end{remark}

  \begin{theorem}[局部存在性与唯一性, \cite{jiang-06}]  \label{Thm: local existence}
    假设\textbf{条件} 成立, 则存在依赖于初始二次能量~$\mathscr{E}(0)$ 的~$T>0$ 使得问题在时间区间~$(-\infty, T]$ 上有弱解. 另外, 我们有下面的能量恒等式成立:
    \begin{eqnarray}
      &&\mathscr{E}+\int_0^t\int_\Omega |u_t|^{m+1} \d x\d \tau-\frac12 \int_0^t\int_0^{-\infty}|\nabla w(\tau,s)|_2^2 \mu'(s)\d s\d \tau\nonumber\\
      &&=\mathscr{E}(0)+\int_0^t\int_\Omega |u|^{p-1}uu_t\d x\d\tau,\label{4 quadratic energy identity}
    \end{eqnarray}
  \end{theorem}

\subsection{数学公式、符号的例子}

行列式的例子
  \begin{equation*}
    |\lambda E- A|=
      \begin{vmatrix}
        \lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13}&\cdots &-a_{1n} \\
        -a_{21} & \lambda-a_{22} & -a_{23} &\cdots & -a_{2n}\\
        \vdots & \vdots & \vdots&\ddots&\vdots \\
        -a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} &\cdots& \lambda -a_{nn}
      \end{vmatrix}
  \end{equation*}

矩阵的例子
  \begin{equation*}
    A=(a_{ij})_{n\times n} =
      \begin{pmatrix}
          a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
          a_{21} & a_{22} & a_{23} &\cdots & a_{2n}\\
          \vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
           a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}
      \end{pmatrix}
  \end{equation*}

方程组的例子
  \begin{equation*}
    \left\{   %------ 定界符是大括号｛。 \left\{   与后面的\right. 对应
      \begin{array}{l} %---  左对齐（l=left）
        u_{tt}-\Delta u+|u_t|^{m-1}u_t=|u|^{p-1}u,\quad (x,t)\in \Bbb{R}^n\times (0,\infty),\\
        u(0,x)=u_0(x),\quad u_t(x,0)=u_1(x),
      \end{array}
    \right.
  \end{equation*}

  \begin{equation*}
  \left\{
      \begin{array}{rl} %---- 分为两列，第一列右对齐（r=right），第二列左对齐（l=left）
        -x & \text{if } x < 0,\\
         0 & \text{if } x = 0,\\
        x & \text{if } x > 0.
      \end{array}
  \right.
  \end{equation*}

长公式
  \begin{eqnarray*}
    J(\psi_t(v);t)&=&\frac{p-2}{2p}(|\nabla \psi_t(v)|_2^2+b|\psi_t(v)|_2^2)+\frac1p I(\psi_t(v);t) \\
                &=&\frac{p-2}{2p}s^2(v;t)\|v\|^2 \\
                &=&\frac{p-2}{2p}(k(t))^{-\frac{2}{p-2}}\|v\|^{\frac{2p}{p-2}}.
  \end{eqnarray*}

  \begin{eqnarray*}
       &       &\frac{\gamma_a^p\left(2\rho(0)\right)^{1-\frac{p}{2}}}{\left(p-2\right)k(T_3)}\leq T^* \\
     T &  \leq & T_3:= \frac{8(p-1)(a\l_1+1)\rho(0)}{(p-2)^2[(p-2)(b+\l_1)\rho(0)-p(a\l_1+1)J(u_0;0)]};
  \end{eqnarray*}

 一个具有斜线表头的表格
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|} %------ 三列的列表，每列都居中对齐
      \hline
      % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
      \diagbox{$X$}{$Y$} & $a$ & $b$ \\
      \hline
      $c$ & 1   &0 \\
      \hline
      $d$ & 0 &1 \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
}

\section{又一个环境}
\myfont{
下面是一个例子
  \begin{example}
    这是一个例子
  \end{example}
}

\section{小结}
\myfont{
  在三角势阱近似下我们用艾里函数给出了电子在\ce{GaN-GaAlN}量子阱中薛定谔方程的解，讨论
  了电子由基态跃迁到第一激发态时偶极矩的改变，以及两个最低的能级随\ce{Al}浓度变化的情况。结果
  表明，随\ce{Al}组分增加，导带不连续增大，量子阱变深且变窄，对电子的限制作用增强，子能级离
  量子阱底的高度增加且波函数分布变窄，造成偶极矩变化随\ce{Al}浓度改变非线性减小。一般情况下
  激发态极化产生的电场强度远小于内建电场，故可忽略不记。但当$n$取更大的值 ($ n = 10^{19} /cm^3 $以上) 
  时，即材料被重掺杂时，激发态极化产生的电场强度对内建电场影响不可忽略。
}

\input{./contents/bibliography.tex}
\input{./contents/enabstract.tex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%-----------这里是感谢部分-------------
\def\acknowledgement
{
  本文的写作过程中,得到了李四老师的悉心指导与修改, 在此表示感谢。
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
  这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢这是感谢
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\input{./contents/acknowledgement.tex}

\end{document}